Pfeile

Von Valentin und Paul Hübner

Wie am vergangenen Samstag erklären wir auch heute wieder den Lösungsvorgang eines Logikrätsels; so stellen wir Ihnen in diesem Artikel das Rätsel “Pfeile” vor.

Dieser Artikel erschien am 7. September 2013 in der österreichischen Tageszeitung "Die Presse" unter dem Titel "Des Pudels Kern".

Anleitung:

Jeder Pfeil zeigt auf einen oder mehrere andere Pfeile (gemeint ist auf alle bis zum Rand in der angezeigten Richtung). Schreiben Sie in jeden Pfeil eine Zahl, sodass diese stets die Anzahl der verschiedenen Zahlen angibt, auf die der Pfeil zeigt. Einige Zahlen sind bereits vorgegeben.

Wie immer gibt es genau eine, eindeutige Lösung, die durch logische Überlegungen zu finden ist.

Wir werden den Lösungsvorgang eines eher schwierigen Pfeilrätsels Schritt für Schritt erläutern. Zur eindeutigen Benennung bezeichnen wir die Spalten mit den Buchstaben von a bis e und die Zeilen mit den Ziffern von 1 bis 5. Im aktuellen Schritt ausgefüllte Pfeile sind in den einzelnen Grafiken schwarz gekennzeichnet.

Schritt 1:

Wie bei vielen anderen Rätseltypen gibt es auch bei „Pfeile“ eine triviale Überlegung, die sich zu Beginn jedes Rätsels anwenden lässt: Fast immer gibt es Pfeile, die nur auf einen einzigen anderen Pfeil in einer Randspalte oder -zeile zeigen, wie hier d1, c2 und b3. Egal welche Zahl dieser eine Pfeil, auf den gezeigt wird, enthält; es kann nur „eine verschiedene“ sein. Die zeigenden Pfeile müssen also stets mit einem Einser beschriftet werden.

Sehen wir uns nun den Pfeil auf e3 an: Er zeigt auf zwei Pfeile, c1 und d2. c1 zeigt ebenfalls auf zwei Pfeile, kann also nur einen Einser oder einen Zweier enthalten. Da aber in d2 ein Dreier steht, zeigt e3 sicher auf genau zwei verschiedene Pfeile und enthält somit einen Zweier.

Schritt 2:

Da das vorliegende Rätsel 5x5 Felder (Pfeile) groß ist, treten keine höheren Zahlen als 4 auf, denn ein Pfeil kann gar nicht auf mehr als vier andere zeigen. Der Pfeil auf b1 enthält einen Vierer, demnach stehen in den vier Pfeilen, auf die er zeigt, vier verschiedene Zahlen. Da es aber nur vier verschiedene Zahlen gibt, müssen die Pfeile b2 bis b5 genau die Zahlen von 1 bis 4 jeweils einmal enthalten. 1 und 2 sind bereits vorhanden, also müssen der Dreier und der Vierer auf b2 und b5 liegen. b2 kann nicht der Vierer sein, also können wir hier den Dreier eintragen. Der Vierer liegt demnach auf b5. Wie schon in Schritt 1 festgestellt kann c1 keinen Dreier enthalten. Wie vorhin e3 zeigt deshalb auch a3 gewiss auf zwei verschiedene Pfeile und muss somit einen Zweier enthalten.

Schritt 3:

c4 zeigt auf zwei Pfeile, kann also entweder einen Einser oder einen Zweier enthalten. a2 zeigt auf einen Einser, einen Zweier und c4. Ob c4 nun einen Einser oder einen Zweier enthält – in beiden Fällen zeigt a2 auf nur zwei verschiedene Zahlen, enthält also sicher einen Zweier. Dieselbe Überlegung können wir gleich noch einmal anwenden: c3 enthält entweder einen Einser oder einen Zweier; d3 zeigt auf einen Einser, einen Zweier und c3, enthält also einen Zweier.

Einige weitere Pfeile können wir nun noch ausfüllen. e2 zeigt auf drei verschiedene Zahlen und enthält folglich einen Dreier, d4 ebenfalls, und auch c4 ist schon geklärt: Wir beschriften den Pfeil mit einem Zweier.

Schritt 4:

Der Dreier-Pfeil d2 zeigt auf drei Pfeile, die also drei voneinander verschiedene Zahlen enthalten müssen. Da sich schon auf b4 ein Zweier befindet, kann auf c3 demnach kein Zweier sein. c3 zeigt aber lediglich auf zwei Pfeile, also muss c3 einen Einser enthalten. Das wiederum bedeutet, dass alle Zahlen, auf die der Pfeil zeigt, gleich sind. c5 einhält somit, ebenso wie c4, einen Zweier (was wir natürlich auch anders hätten herausfinden können).

e1 zeigt bereits jetzt auf drei verschiedene Zahlen, vielleicht werden es letzten Endes sogar vier. Jedenfalls enthält e1 sicher keinen Einser, womit c1 auf genau zwei verschiedene Zahlen zeigt.

Schritt 5:

a4 zeigt neben zwei Zweiern und einem Dreier auf e4 und umgekehrt. Solche gegenseitige Abhängigkeit nennt man „Interdependenz“. Für beide gilt: Der Pfeil zeigt auf genau drei verschiedene Zahlen, falls der jeweils andere kein Zweier oder Dreier ist, ansonsten nur auf zwei. Damit ist bereits geklärt, dass beide Pfeile in der Tat entweder einen Zweier oder einen Dreier enthalten, woraus nach obiger Feststellung sofort folgt, dass es zwei Zweier sein müssen. Wir zeichnen sie also ein.

Sehen wir uns die Pfeile auf a5 und e1 an: Sie können entweder beide einen Dreier oder beide einen Vierer enthalten. Sicherlich aber keinen Zweier, woraus sich schließen lässt, dass der Pfeil auf a1 einen solchen enthält.

Schritt 6:

Zwar bleiben nur drei Pfeile, die noch nicht ausgefüllt sind, aber dennoch reicht reines Abzählen der verschiedenen Zahlen nicht für die Lösung, denn jeder von ihnen verweist auf einen der anderen.

Nach etwas Suchen findet man den einzigen Pfeil, der nun weiterhilft: d5. Er zeigt laut Angabe auf genau zwei verschiedene Zahlen, was bedeutet, dass a5 entweder einen Vierer oder einen Zweier enthält. Letzteres ist natürlich nicht möglich, also muss es der Vierer sein. Daraus folgt wiederum, dass auch e1 ein Vierer-Pfeil ist. Der Dreier auf e5 ergibt sich nun zuletzt tatsächlich durch Abzählen.

Selbstverständlich gibt es neben dem gezeigten noch viele weitere Wege, um zu dieser Lösung zu finden. An manchen Stellen haben wir nicht den einfachsten gewählt, um bestimmte Lösungsmuster, die immer wieder anwendbar sind, erklären zu können.

Links finden sie vier Rätsel ansteigenden Schwierigkeitsgrades zum Ausprobieren, teilweise mit „Multi-Pfeilen“, die in mehrere Richtungen zeigen. Falls sie Gefallen an dieser Rätselart gefunden haben, können Sie außerdem auf puzzlephil.com/play/shop/pfeile-heft (demnächst verfügbar) ein Rätselheft zum Ausdrucken mit 100 weiteren Pfeilrätseln in drei verschiedenen Varianten (teilweise mit Multi-Pfeilen und teilweise ohne schräge Pfeile) herunterladen.

Wir wünschen Ihnen viel Spaß!